Halaman
Bab V Barisan dan Deret Bilangan141BAB VBARISAN DAN DERET BILANGANPeta KonsepKata Kunci1. Pola2. Bilangan3. Barisan4. Deret5. Aritmatika6. GeometriBarisan dan Deret BilanganPola bilanganBarisan bilanganDeret bilanganAritmatikaGeometriAritmatikaGeometrimempelajariSifatRumusjenisjenismempelajari
142Matematika IX SMP/MTsDalam kehidupan sehari-hari seringkita temui benda-benda di sekitar kitabaik tanaman, batu, hewan, dan lain-lainyang memiliki barisan bilangan tertentu.Sebagai contoh adalah tanaman bungamatahari. Dalam susunan biji bungamatahari (kwaci) jika kita hitungbanyaknya kwaci dari dalam sampai luar,maka jumlahnya akan tampak suatubarisan bilangan tertentu. Selain itu tidakhanya jumlah kwaci saja yang memilikibarisan bilangan, kita juga dapat melihatsusunan daun pada bunga, segmen-segmen dalam buah nanas atau biji cemara. Semua contoh diatas menunjukkan barisan bilangan 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21, . . . Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan bilanganfibonacci. Setiap bilangan atau angka dalam barisan inimerupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. Barisanbilangan fibonacci ini ditemukan oleh Fibonacci yang namalengkapnya adalah Leonardo of Pisa (1180 - 1250 ). Iamenjelaskan teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yangberjudul Liber Abaci.Dengan mempelajari bab ini, kalian diharapkan dapatmenentukan pola barisan bilangan sederhana, suku ke-n barisanaritmatika dan geometri, menentukan jumlah n suku pertama,dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan danderet.A. Pola Bilangan1.Pengertian Pola BilanganSebelum kita lebih jauh membahas pola bilangan, alangkahlebih baik jika kita terlebih dahulu mengetahui apa itu pola danapa itu bilangan. Dalam beberapa pengertian yang dikemukakanpara ahli tentang pola, dapat dirumuskan bahwa pola adalahsebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur daribentuk yang satu ke bentuk berikutnya.Sumber: www.kidswebindia.comGambar 5.1 Bunga matahari
Bab V Barisan dan Deret Bilangan143Sedangkan bilangan adalah sesuatu yang digunakan untukmenunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat,ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek. Bilanganditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebutangka.Dalam matematika terdapat beberapa bilangan yang dapatdisusun menjadi diagram pohon bilangan. Adapun diagrampohon bilangan dapat ditunjukkan sebagai berikut.Dalam beberapa kasus sering kita temui sebuah bilanganyang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan yangakan dibahas dalam bab ini. Dalam bab ini pembahasan akandifokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilanganasli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilanganasli.Gambar 5.2 Diagram pohon bilangan
144Matematika IX SMP/MTsBeberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:Himpunan bilangan ganjil= {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }Himpunan bilangan genap= {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, danHimpunan bilangan prima= {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-polabilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunanbilangan asli.2.Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genapa.Pola Bilangan GanjilSalah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalahbilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidakhabis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karenapembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli,maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3,5, 7, 9, . . . }. Bagaimanakah pola bilangan ganjil? Untukmengetahui bagaimana pola bilangan ganjil, lakukanlah kegiatanberikut.Kegiatan 5.1Nama kegiatan: Mencari pola bilangan ganjilAlat dan bahan:1.Kertas karton2.GuntingCara kerja:1.Buatlah sebuah lingkaran kecil sebanyak bilangan-bilangan ganjil dengancara menggunting kertas karton seperti berikut.1 dinyatakan dengan3 dinyatakan dengan5 dinyatakan dengan7 dinyatakan dengan, dst
Bab V Barisan dan Deret Bilangan1452.Susunlah lingkaran-lingkaran kecil tersebut menjadi sebuah pola yangteratur. Sebagai contoh perhatikan pola berikut.3.Buatlah sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 cm sebanyakbilangan-bilangan ganjil dengan cara menggunting kertas karton sepertiberikut.1 dinyatakan dengan3 dinyatakan dengan5 dinyatakan dengan7 dinyatakan dengandan seterusnya4.Susunlah segitiga sama sisi tersebut menjadi sebuah pola yang teratur.Sebagai contoh perhatikan pola berikut.5.Buatlah pola-pola yang lain dari lingkaran dan segitiga sama sisi tersebut.KesimpulanGambar pola pada no. 2 dan 4 di atas, memiliki bentukyang teratur dari bentuk yang satu kebentuk yang lain. Selainitu gambar di atas juga menyatakan bilangan-bilangan ganjil,maka gambar di atas merupakan pola bilangan ganjil.1357
146Matematika IX SMP/MTsDari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli ganjil. Untuk lebih jelas perhatikan uraianpenjumlahan bilangan asli ganjil berikut.Penjumlahan dari 2 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 = 4⇒ 4 = 22Penjumlahan dari 3 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 = 9⇒ 9 = 32Penjumlahan dari 4 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 + 7 = 16⇒ 16 = 42Penjumlahan dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25⇒ 25 = 52Dari hasil penjumlahan bilangan-bilangan ganjil di atas,maka kita dapat menuliskan sebagai berikut.Penjumlahan dari 2 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 = 22Penjumlahan dari 3 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 = 32Penjumlahan dari 4 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 + 7 = 42Penjumlahan dari 5 bilangan asli ganjil yang pertama1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama adalah:bilangan135 79++++n
Bab V Barisan dan Deret Bilangan147Contoh 5.11.Tentukan jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama.Penyelesaian:Tujuh bilangan asli ganjil yang pertama adalah:1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, dan n = 7. Jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama= n2 = 72 = 49.Jadi, jumlah dari 7 bilangan asli ganjil yang pertama adalah49.2.Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yangjumlahnya 144?Penyelesaian:Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2Sehingga 144 = n2⇔n= 12, atau⇔n= –12 (tidak memenuhi)Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.b.Pola Bilangan GenapSelain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagianbilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.Perhatikan susunan heksagonal berikut.Gambar tersebut menunjukkan bahwa heksagonal yangterdiri sebanyak bilangan-bilangan genap dapat disusunmembentuk suatu pola tertentu. Sehingga gambar tersebutmerupakan pola bilangan genap.Gambar 5.3 Heksagonal bilangan genap
148Matematika IX SMP/MTsAdapun pola-pola bilangan genap yang lain adalah sebagaiberikut.Dari pola-pola di atas, akan ditentukan jumlah berapabilangan asli genap pertama. Untuk lebih jelas perhatikan uraianpenjumlahan bilangan asli genap berikut.Penjumlahan dari 2 bilangan asli genap yang pertamaPenjumlahan dari 3 bilangan asli genap yang pertamaPenjumlahan dari 4 bilangan asli genap yang pertamaDari hasil penjumlahan bilangan-bilangan genap di atas,kita dapat menuliskannya sebagai berikut.Penjumlahan dari 2 bilangan asli genap yang pertama2 + 4 = 2(2+1)Penjumlahan dari 3 bilangan asli genap yang pertama2 + 4 + 6 = 3(3+1)Penjumlahan dari 4 bilangan asli genap yang pertama2 + 4 + 6 + 8 = 4(4+1)Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:2 + 4 +6 = 1212= 3( 3+ 1)2 + 4 = 66= 2 (2+1)Gambar 5.4 Pola bilangan genap2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)n Bilangan246824682 + 4 +6 + 8 = 2020= 4( 4+ 1)
Bab V Barisan dan Deret Bilangan149Contoh 5.21.Tentukan jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama.Penyelesaian:Delapan bilangan asli genap yang pertama adalah 2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16.n = 8Jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama= n ( n + 1)= 8 ( 8 + 1)= 8 × 9= 72Jadi, Jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama 72.2.Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yangjumlahnya 121.Penyelesaian:Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka:Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.3.Pola Bilangan pada Segitiga Pascala.Mengenal Segitiga PascalUntuk mengetahui bagaimana susunan bilangan-bilanganpada segitiga pascal, maka perlu terlebih dahulu kita mem-perhatikan papan permainan berikut.Gambar berikut adalah sebuah permainan papan luncur,pada setiap titik dipasang sebuah paku yang akan digunakanuntuk meluncurkan sebuah kelereng yang dimulai dari titik An(n+1) = 121n2+ n -121 = 0(n-10)(n +11) = 0n-10= 0 atau n +11 = 0n=10 atau n =11 (tidak memenuhi)
150Matematika IX SMP/MTsmenuju ke titik-titik yang lain. Banyaknya lintasan yang dilaluioleh bola dari A ke titik-titik yang lain dapat dinyatakan dalamtabel berikut. LintasanBanyakRute-rute LintasanLintasanA ke B1A - BA ke C1A - CA ke D1A - B - DA ke E2A - B - E ; A - C - EA ke F1A - C - FA ke G1A - B - D - GA ke H3A - B - D - H ; A - B - E - H ; A - C - E - HA ke I3A - C - F - I ; A - C - E - I ; A - B - E - IA ke J1A - C - F - JA ke K1A - B - D - G - KGambar 5.5 Permainan papan luncur
Bab V Barisan dan Deret Bilangan151 LintasanBanyakRute - rute LintasanLintasanA ke L4A - B - D - G - L ; A - B - D - H - L ;A - B - E - H - L ; A - C - E - H - LA ke M6A - B - D - H -M ; A - B - E - H - M ;A - B - E - I - M ; A - C - E - H - M ;A - C - E - I - M ; A - C - F - I - MA ke N4A - C - F - J - N ; A - C - F - I - N ;A - C - E - I - N ; A - B - E - I - NA ke O1A - C - F - J - OJika huruf-huruf pada gambar papan permainan tersebutdiganti dengan angka-angka yang menunjukkan banyaknyalintasan dari A ke titik tertentu dan A sendiri diganti denganangka 1, maka papan permainan tersebut menjadi:Gambar 5.6 Pola segitiga Pascal
152Matematika IX SMP/MTsSusunan bilangan-bilangan seperti pada gambar disebutsegitiga pascal. Kata segitiga diberikan mengingat susunanbilangan-bilangan itu membentuk sebuah segitiga. Sedangkankata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yangmenemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika diperhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangandengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada barisyang ada tepat di atasnya.Untuk lebih jelas perhatikan susunan segitiga pascal berikut.Sebagai contoh 6 kotak yang masing-masing terdiri dari2 baris dan 3 kolom seperti kotak-kotak yang di arsir di atas.Bilangan yang berada pada baris pertama, jika dijumlahkanmaka hasilnya adalah bilangan yang berada pada baris kedua.b.Jumlah Bilangan-bilangan pada Setiap Baris padaSegitiga PascalPenjumlahan bilangan-bilangan pada setiap baris dalamsegitiga pascal, akan diperoleh hasil yang menunjukkan barisanbilangan. Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan pada setiapbaris pada segitiga pascal berikut.31 + 2 = 354 + 1 = 542114321424341
Bab V Barisan dan Deret Bilangan153Dari jumlah bilangan-bilangan pada setiap baris daribilangan segitiga pascal di atas, maka dapat dinyatakan bahwa:Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlahbilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n–1Contoh 5.3Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada bariske-10.Penyelesaian:Jumlah bilangan adalah Sn= 2n–1= 210–1= 29= 512Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah512.c.Penerapan Bilangan Segitiga Pascal Pada BinomialNewtonJika a dan b adalah variabel-variabel real yang tidak nol,maka bentuk aljabar (a + b) disebut suku dua atau binomialdalam a dan b. Binomial (a + b) dipangkatkan dengan n (nadalah bilangan-bilangan asli ) dituliskan sebagai berikut.()nba+Jumlah
154Matematika IX SMP/MTsPerhatikan uraian berikut.→ pangkat a turundan pangkat b naikContoh 5.4Dengan bantuan segitiga pascal, uraikanlah (x + y)5.Dari segitiga pascal telah diketahui koefisien penjabaran binom,sehingga:Barisan bilangan segitiga pascal pada n = 31111111233Gambar 5.8 Koefisien dari penjabaran binomial newton
Bab V Barisan dan Deret Bilangan155Latihan 5.11.Tuliskan barisan bilangan berikut.a.Barisan bilangan kelipatan 3 kurang dari 35.b.Sepuluh barisan pertam bilangan fibonacci.c.Bilangan asli kuadrat kurang dari 200.2.Gambarkan pola ketiga, keempat, dan kelima dari pola bangun berikut.a.b.3.Tentukan jumlah 15 bilangan asli genap yang pertama.4.Tentukan jumlah 15 bilangan asli ganjil yang pertama.5.Tentukan jumlah bilangan pascal pada baris ke-15.6.Dengan menggunakan barisan bilangan segitiga pascal, uraikan binomial.a.b.1.Pengertian Barisan BilanganMasih ingatkah kita tentang susunan bilangan fibonacci,yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .? Kemudian perhatikan susunanbilangan-bilangan di bawah ini.a.1, 3, 6, 10, 15, . . .b.2, 4, 8, 16, 32, . . .B. Barisan Bilangan(p +q)7(x +y)8
156Matematika IX SMP/MTsKetiga susunan bilangan di atas disebut barisan bilangan.Adapun aturan pembentukan barisan bilangan tersebut sebagaiberikut.1.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .Aturan pembentukannya, setiap bilangan adalah jumlahdari dua bilangan sebelumnya.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 1 (0 + 1 = 1)Suku ke-3 adalah 2 (1 + 1 = 2)Suku ke-4 adalah 3 (1 + 2 = 3)Suku ke-5 adalah 5 (2 + 3 = 5)2. 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .Aturan pembentukannya adalah untuk setiap bilangandikalikan 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 2 (1 × 2 = 2)Suku ke-3 adalah 4 (2 × 2 = 4)Suku ke-4 adalah 8 (4 × 2 = 8)Suku ke-5 adalah 16 (8 × 2 = 16)3.1, 3, 6, 10, 15, . . .Aturan pembentukannya adalah ditambah dengan bilanganasli berurutan yang dimulai dari 2.Suku ke-1 adalah 1Suku ke-2 adalah 3 (1 + 2 = 3)Suku ke-3 adalah 6 (3 + 3 = 6)Suku ke-4 adalah 10 (6 + 4 = 10)Suku ke-5 adalah 15 (10 + 5 = 15)Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalammatematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiapbilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebutsuku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakandalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalahsuku pertama dan Un adalah suku ke-n.
Bab V Barisan dan Deret Bilangan1572.Menentukan Suku BarisanUntuk menentukan suku-suku barisan bilangan dapat dicaridari melihat suku-suku barisan bilangan yang telah diketahui.Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.Contoh 5.5Tulislah dua suku berikutnya dari masing-masing barisanbilangan berikut.a.2, 6, 12, 20, . . .b.96, 48, 24, 12, . . .c.1, 5, 9, 13, . . .Penyelesaian:a.2, 6, 12, 20, . . .Barisan bilangan berikutnya dapat dicari denganmenambahkan bilangan asli genap berurutan yang dimulaidari 4 pada suku di depannya.Dua suku berikutnya adalah 30 dan 42.b.96, 48, 24, 12, . . .Barisan bilangan berikutnya dapat dicari dengan membagi2 suku di depannya.Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3.c.1, 5, 9, 13, . . .Barisan bilangan berikutnya dapat dicari denganmenambah 4 pada suku di depannya.Dua suku berikutnya adalah 17 dan 21.3.Menentukan Suku ke-n dari Suatu BarisanSuku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan denganUn. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicaridengan rumus yang dapat diketahui melalui aturanpembentukan barisan bilangan. Proses mencari suku ke-ndengan cara ini dinilai lebih praktis dibandingkan dengan menulissuku demi suku, jika suku yang diminta dalam urutan besar.Hal ini memudahkan siswa dalam mencari/menentukan nilaisuku-suku dengan urutan berapapun.
158Matematika IX SMP/MTsContoh 5.61.Tentukan suku ke-50 dari barisan bilangan 6, 8, 10, 12,. . . .Penyelesaian:Karena dilihat dari aturan pembentukan dari suku satu kesuku berikutnya di tambah 2, maka rumus suku ke-nmemuat 2n, yaitu:U1 = 6 = 2 × 1 + 4U2 = 8 = 2 × 2 + 4Jadi, Un= 2 × n + 4= 2n + 4Sehingga U50= 2 × 50 + 4= 1042.Tentukan suku ke-30 dari barisan bilangan 4, 9, 16, 25,. . . .Penyelesaian:U1 = 4= 22U2 = 9= 32= (1 + 1)2= (2 + 1)2U3 = 16 = 42U4 = 25 = 52= (3 + 1)2= (4 + 1)2Berdasarkan aturan pembentukan barisan bilangan terlihatbahwa pangkat selalu 2, sedangkan bilangan pokoknyaadalah urutan suku ditambah 1, maka:Un= (n + 1)2Jadi, U30= (30 + 1)2= 312= 9613.Tentukan lima suku pertama dari suatu barisan bilangan,jika suku ke-n adalah n(2n + 3 ).Penyelesaian:Un= n(2n + 3)U1= 1 × (2 × 1 + 3)U2= 2 × (2 × 2 + 3)= 1 × 5= 2 × 7= 5= 14
Bab V Barisan dan Deret Bilangan159U3= 3 × (2 × 3 + 3)U4= 4 × (2 × 4 + 3)= 3 × 9= 4 × 11= 27= 44U5= 5 × (2 × 5 + 3)= 5 × 13= 65Jadi, lima suku pertama adalah 5, 14, 27, 44, 65.Latihan 5.21.Tentukan suku pertama (U1) sampai suku ke-10 (U10) dari barisan-barisanberikut.a.1, 4, 9, 16, . . .c.4, 6, 10, 18, 34, . . .b.1, 3, 6, 10, 15, . . .d.4, 7, 12, 19, 28, . . .2.Tentukan suku ke 20 dari barisan bilangan berikut.a.4, 5, 6, 7, 8, . . .c.b.3, 8, 15, 24, 35, . . .C. Barisan dan Deret Aritmatika1.Barisan AritmatikaDalam pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwabarisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . .,Un. Barisan bilangan ini disebut sebagai barisan bilanganaritmatika, jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan "b".Jadi, .Jika dalam barisan aritmatika tersebut suku pertamadinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatikaadalah:a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a+(n–1)b32435465,,,76,......
160Matematika IX SMP/MTsContoh 5.71.1, 4, 7, 10, . . .b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3b = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 3Karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yangtetap yaitu 3, maka barisan itu merupakan barisanaritmatika.2.2, 5, 7, 9 , . . .b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3U2 – U1 = 5 – 2 = 3U3 – U2 = 7 – 5 = 2U4 – U3 = 9 – 7 = 2Karena barisan bilangan tersebut mempunyai beda yangtidak tetap, maka barisan tersebut bukan barisanaritmatika.2.Deret AritmatikaDari pengertian barisan bilangan pada pembahasansebelumnya, jika semua suku-suku pada barisan aritmatikadijumlahkan akan terbentuk suatu deret aritmatika atau derethitung. Sehingga bentuk umum deret aritmatika adalah:Deret aritmatika yang mempunyai beda lebih dari nol ataupositif, maka deretnya disebut deret aritmatika naik. Sedangkanderet aritmatika yang mempunyai beda kurang dari nol ataunegatif, maka deretnya disebut deret aritmatika turun.Contoh 5.81.Apakah 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + . . . deret aritmatika?U2 – U1 = 5 – 2 = 3U4 – U3 = 11 – 8 = 3U3 – U2 = 8 – 5 = 3U5 – U4 = 14 – 11 = 3Karena bedanya selalu tetap yaitu 3, maka 2 + 5 + 8 +11 + 14 + 17 + . . . adalah deret aritmatika atau derethitung.
Bab V Barisan dan Deret Bilangan161+2.Apakah 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + . . . deret aritmatika?U2 – U1 = 6 – 2 = 4U4 – U3 = 14 – 10 = 4U3 – U2 = 10 – 6 = 4U5 – U4 = 18 – 14 = 4Karena bedanya selalu tetap yaitu 4, maka 2 + 6 + 10 +14 + 18 + . . . adalah deret aritmatika atau deret hitung.a.Rumus Suku ke-n Deret AritmatikaApabila a menyatakan suku pertama, n menyatakanbanyak suku, dan b adalah beda suatu barisan aritmatika, maka:U1= aU2= a + bU3= a + 2b. . .Un= a + (n – 1)bJadi, suku ke-n barisan aritmatika (Un) dirumuskan sebagai:Un = a + (n –1)bb.Jumlah n Suku Pertama Deret AritmatikaUntuk memudahkan perhitungan, berikut ini akan dicarirumus menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika.U1= aU2= a + bU3= a + 2b. . .Un= a + (n – 1)bSn= a + a + a + . . . + b + 2b + 3b + . . . + (n–1) bSn= na + b + 2b + 3b + . . . + (n–1) b= na + {(1 + 2 + 3 + . . . + (n–1)}b
162Matematika IX SMP/MTsIngat bahwa:1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n–3) + (n–2) + (n–1)didapat:Sehingga:Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah:c.Suku Tengah Deret AritmatikaDalam deret aritmatika jika n ganjil, maka suku tengah(Ut) deret aritmatika tersebut terletak di tengah-tengah antaraU1 dan Un dan dirumuskan sebagai:+++
Bab V Barisan dan Deret Bilangan163d.Sisipan pada Deret AritmatikaMisalkan U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un adalah deretaritmatika dengan suku pertama U1 = a, beda = b, danbanyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku deret aritmatikatersebut disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehinggamembuat deret aritmatika baru, maka:Deret semula:Deret baru:Dari deret semula dan deret baru diperoleh hubungan1.Beda baru (b')2.Banyaknya suku baru (n')3.Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')3.Sifat-sifat Deret AritmatikaMasih ingatkah kita dengan rumus suku ke-n dan jumlahn suku pertama pada deret aritmatika? Nah, dari rumus sukuke-n dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika tersebutkita akan menemukan sifat-sifat deret aritmatika.Bentuk umum dari suatu deret aritmatika adalah:
164Matematika IX SMP/MTsBerikut ini akan diuraikan beberapa sifat lain pada deretaritmatika.Misalkan diketahui deret aritmatika 2 + 6 + 10 + 14 + 18+ . . . , a = 2, b = 4Jika:Sehingga:U3 – U(3–2) = 8 = 4 × 2U5 – U(5–3) = 12 = 4 × 3U5 – U(5–4) = 12 = 4 × 4Dari uraian di atas maka:...................................... (sifat 1)Dalam pembahasan sebelumnya telah kita ketahui bahwa:.............. (sifat 2)Jika banyak suku barisan aritmatika ganjil dan suku tengahnyaadalah Ut maka: ................................. (sifat 3)
Bab V Barisan dan Deret Bilangan1654.Hubungan antara Sn dan UnSn= a + (a+b)+(a+2b)+ . . . + (a+(n–2)b)+(a+(n–1)b)Sn–1= a + (a+b)+(a+2b)+ . . . + (a+(n–2)b)Sn–Sn–1= a + (n–1)b= UnnnUSS=−−1 .................................................... (sifat 4)Latihan 5.31.Carilah beda dan suku ke-n, jika diberikan barisan aritmatika sebagaiberikut:a.5, 9, 13, 17, . . .b.10, 16, 22, 28, . .c.2, 7, 12, 17, . . .2.Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut ini.a.5, 9, 13, 17, . . .suku ke-20b.10, 16, 22, 28, . . suku ke-15c.2, 7, 12, 17, . .suku ke-303.Tentukan banyak suku dari deret aritmatika berikut.a.10 + 17 + 24 + 31 + ... +115b.7 + 13 + 19 + 25 + ... + 4634.Dalam sebuah deret aritmaika U3 = 22 dan U8 = 52, maka tentukansuku ke-15.5.Tentukan jumlah dari deret aritmatika 82 + 78 + 74 + ... + 10.6.Suku pertama dari deret aritmatika adalah 11 dan suku tengahnya adalah41. Tentukan suku terakhir dari deret aritmatika tersebut.7.Di antara dua suku yang berurutan pada deret 2 + 10 + 18 + 26 + 34+ 42 disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk deret aritmatika yangbaru. Tentukan:a.besar deret yang baru,b.banyak suku pada deret yang baru,c.jumlah deret yang baru.–
166Matematika IX SMP/MTs8.Suatu barisan bilangan mempunyai aturan Un = 100 – 3n.a.Tentukan suku-suku ke–8, ke–15, dan ke–32.c.Suku keberapakah 58 itu?9.Seorang anak menabung di bank. Bulan pertama, ia menabungRp10.000,00, bulan kedua ia menabung Rp13.000,00, bulan ketiga iamenabung Rp 16.000,00, dan bulan keempat ia menabung Rp19.000,00.Demikian seterusnya, ia selalu menabung Rp3.000,00 lebih banyak daribulan sebelumnya.a.Berapa rupiahkah ia menabung pada bulan ke–11?b.Tabungan bulan ke berapakah yang besarnya Rp67.000,00.10. Dari hari ke hari Umar mengumpulkan buah-buahan yang akan dikirimke pasar. Hari pertama, terkumpul 150 kg, hari kedua terkumpul165 kg, hari ketiga terkumpul 180 kg, hari keempat terkumpul 195 kg.Demikian seterusnya sehingga hari berikutnya selalu memperoleh 15 kglebih berat daripada hari sebelumnya. Hari keberapakah ia memperolehbuah 225 kg? Berapakah banyak buah selama 1 minggu?1.Barisan GeometriSetelah kita mempelajari barisan dan deret aritmatika,maka dalam pembahasan selanjutnya akan kita pelajari barisandan deret geometri. Suatu barisan U1, U2, U3, U4, . . . , Undisebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yangberurutan selalu tetap. Perbandingan antara dua suku yangberurutan itu disebut pembanding atau rasio, biasanyadilambangkan dengan " r " .Jadi, .D. Barisan dan Deret Geometri
Bab V Barisan dan Deret Bilangan167Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umumbarisan geometri adalah:Contoh 5.91.Tentukan apakah 2, 4, 8, 16, . . . merupakan barisangeometri.Penyelesaian:Kita tentukan apakah rasio dua suku yang berurutan adalahsama.Karena rasio dua suku yang berurutan sama, maka barisantersebut merupakan barisan geometri.2.Tentukan suku ke-6 barisan geometri:ax, a2x, a3x, a4x, . . . .Penyelesaian:Suku pertama axSuku ke-n= ax × rn-1= ax(ax)n-1= ax × axn-x= anxSuku ke-6 = a6xa, ar, ar2, ar3, . . .arn-1
168Matematika IX SMP/MTs2.Deret GeometriSeperti halnya deret aritmatika, apabila suku-suku padabarisan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deretgeometri atau deret ukur. Sehingga bentuk umum deret geometriadalah:Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un,jika Un+1 > Un maka deretnya disebut deret geometri naik,dan jika Un+1 < Un , maka deretnya disebut deret geometriturun.Contoh 5.10Diketahui deret 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . .Karena rasionya selalu tetap yaitu 3, maka deret 2 + 6 +18 + 54 + 162 + . . . disebut deret geometri. KarenaUn+1 > Un, maka 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . juga disebutderet geometri naik.a.Rumus Suku ke-n Deret GeometriApabila a menyatakan suku pertama deret geometri, nmenyatakan banyak suku, dan r menyatakan rasio, maka sukuke-n (Un) deret geometri dirumuskan sebagai berikut.Un = arn-1Contoh 5.111.Diketahui deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + . . . .Tentukan suku ke-13 dari deret geometri tersebut.Penyelesaian:a + ar+ ar2+ ar3+ . . .+arn-1
Bab V Barisan dan Deret Bilangan169Deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + . . .Suku ke-n = Un = arn–1Suku ke-13 = U13 = 3 ⋅ 213-1 = 3 ⋅ 212= 3 ⋅ 4.096= 12.2882.Jika diketahui deret geometri dengan suku pertama adalah3 dan rasionya 4, maka tentukan 5 suku pertama.Penyelesaian:Diketahui a = 3, r = 4Jadi, deret geometri tersebut adalah 3 + 12 + 48 + 192 +768.b.Jumlah n Suku Pertama Pada Deret GeometriUntuk dapat mengetahui jumlah n suku pertama (Sn) suatuderet geometri dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.Hubungan antara Undan Snadalah Un= Sn – Sn-1.
170Matematika IX SMP/MTsContoh 5.12Jumlah 6 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 +. . . ditentukan dengan cara berikut.Jadi, jumlah 6 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 +24 + . . . adalah 189.c.Suku Tengah Deret GeometriSuku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengah-tengah antara a dan Undengan banyak suku ganjil. Suku tengahderet geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumusberikut.Contoh 5.13Tentukan suku tengah dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + . . . +1.458.Penyelesaian:Diketahui:a= 2Un= 1.458S6
Bab V Barisan dan Deret Bilangan171Jadi, suku tengah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + . . . +1.458 adalah 54.d.Sisipan pada Deret GeometriMisalkan diketahui deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 +. . . + Un. Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkank buah suku baru sehingga membentuk deret geometri yangbaru, r adalah rasio deret awal, dan n banyaknya suku awal,maka diperoleh:1)Rasio baru (r') jika banyak suku yang disisipkan genap. jika banyak suku yang disisipkan ganjil.2)Banyaknya suku baru (n')3)Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')
172Matematika IX SMP/MTs3.Sifat-sifat Deret GeometriTidak hanya deret aritmatika, deret geometri jugamempunyai sifat-sifat yang dapat dikenali. Denganmenggunakan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertamapada deret geometri kita akan menemukan sifat -sifat lain.Bentuk umum deret geometri adalah:Misalkan untuk sebuah deret geometri 2 + 6 + 18 + 54 + . . .Jika :Dari uraian di atas, maka: ........................................................ (sifat 1)Adapun sifat-sifat deret geometri yang lain adalah:........................................................ (sifat 2)()nnUSS=−−1..................................................... (sifat 3)a+ar+ar2+ar3+.....+arn-1a=2, r=62=3
Bab V Barisan dan Deret Bilangan17331.25159 2527 12581++3+.....7452Latihan 5.41.Carilah rasio dan suku ke-n dari deret geometri berikut.a.b.2.Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan berikut ini.a. suku ke-20b. suku ke-163.Carilah banyak suku dari deret geometri 625 + 125 + 25 + ... +4.Dalam suatu deret geometri diketahui suku pertama dan suku kelimaberturut-turut 6 dan 486. Tentukan besar rasio dari deret tersebut.5.Tentukan jumlah 18 suku pertama dari deret 5 + 10 + 20 + 40 + ....6.Di antara bilangan 3 dan 96 disisipkan tiga buah bilangan sehinggamembentuk deret geometri. Tentukana.besar rasio deret tersebut,b.jumlah deret tersebut.7.Jumlah deret geometri tak hingga8.Jika deret geometri tak hingga adalah 12, dan suku pertama adalah 4,berapa besar suku kelima?9.Andi menabung di bank dengan modal awal sebesar Rp500.000,00 danbunga 3% per tahun. Bank tersebut menggunakan bunga majemuk (bungaberbunga). Tentukan besar tabungan setelah 4 tahun.10. Diketahui tiga bilangan x – 1, x – , x – . Jika ketiga bilangantersebut membentuk geometri, tentukan jumlah tak hingga dari barisantersebut.2+(-6)+18+(-54)+162+.....-3+6+(-12)+....2+(-6)+18+(-54)+162+.....-3+6+(-12)+....
174Matematika IX SMP/MTsE.Memecahkan Masalah Barisan dan DeretDalam kehidupan sehari-hari kadang banyak kita temui permasalahan-permasalahan dalam bentuk barisan dan deret. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut tentunya juga menggunakan aturan-aturan yang ada pada deretdan barisan.Berikut ini adalah beberapa contoh permasalahan-permasalahan dalam bentukbarisan dan deret.Contoh 5.141.Tiga buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jumlahketiga bilangan tersebut adalah 36 dan hasil kalinya 1.536.Tentukan bilangan-bilangan tersebut.Penyelesaian:Misalkan tiga buah bilangan tersebut adalah a – b, a,a + b, maka:(a + b)+a+(a+b) =36(a - b)’ a’+(a+b) =1.536a - b-+a+a+b =363a =36a =12(a2 -b2)a = 1.536(122 -b2)12 = 1.536(1142 -b2)12 = 1.536(114- b2) = 128 b2 = 16 b = 4
Bab V Barisan dan Deret Bilangan175Jadi tiga buah bilangan tersebut adalah:a – b= 12 – 4= 8a + b= 12 + 4= 162.Firli menabung di sebuah bank. Pada bulan Januari iamenabung sebesar Rp150.000,00, bulan Februari sebesarRp210.000,00, bulan Maret sebesar Rp270.000,00, danseterusnya.Berapakah jumlah uang yang ditabung Firlisampai bulan Desember pada tahun yang sama?Penyelesaian:bulan Januari = U1 = Rp150.000,00bulan Februari = U2 = Rp210.000,00bulan Maret= U3 = Rp270.000,00Jumlah uang sampai bulan Desember adalah:Jadi jumlah uang Firli sampai bulan Desember adalahRp5.760.000,00.
176Matematika IX SMP/MTs3.Sebuah konveksi pakaian jadi, pada bulan Maret dapatmenyelesaikan 500 baju, pada bulan April 525 baju, bulanMei 550 baju, dan seterusnya.Berapakah banyak bajuyang dapat dihasilkan pada bulan Desember tahun yangsama?Penyelesaian:bulan Maret= U1 = 500bulan April= U2 = 525bulan Mei= U3 = 550Banyak baju yang di hasilkan pada bulan Desember adalah:Jadi, banyak baju yang dihasilkan pada bulan Desemberadalah 725 buah.4.Dalam suatu gedung pertemuan terdapat 10 kursi padabaris pertama, dan bertambah 6 kursi untuk baris-barisseterusnya. Jika gedung itu dapat memuat 15 baris kursi,maka tentukan:a.rumus suku ke-n yang menyatakan banyak kursi padabaris ke-n,b.banyak kursi pada baris terakhir,c.banyak kursi dalam gedung tersebut.Penyelesaian:Diketahui a = 10; b = 6, n = 15a.Rumus suku ke-n
Bab V Barisan dan Deret Bilangan177b.Banyak kursi pada baris terakhir, yaitu baris ke-15c.Banyak kursi dalam gedung (S15)5.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 20 m ke lantaidan memantul dengan tinggi pantulan mancapai kalitinggi sebelumnya. Pantulan ini berlangsung terus menerussampai bola berhenti. Hitunglah panjang lintasan bolatersebut.35
178Matematika IX SMP/MTsPenyelesaian:Lintasan pertamaLintasan keduaJadi panjang lintasan bola sampai berhenti adalah50 + 30 = 80 m.Rangkuman1.Jumlah n bilangan asli ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + . . . = n2.2.Jumlah n bilangan asli genap pertama: 2 + 4 + 6 + . . . n = n(n + 1).3.Jumlah bilangan pada baris ke-n bilangan segitiga pascal = Sn = 2n-1.4.U1, U2, U3, . . . Un disebut barisan aritmatika jika:U2 – U1 = U3 – U2 = . . . = Un – Un-1 = b5.Rumus suku ke-n barisan aritmatika:Un = a + (n – 1)b6.Rumus suku ke-n barisan geometri:Un = arn – 17.Sisipan pada deret aritmatikabeda = b' = banyak suku baru = n' = n + (n + 1)kjumlah suku pertama setelah sisipan: Sn' =bk+1n2(a +Un)
Bab V Barisan dan Deret Bilangan179A. Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan cara memberi tandasilang (X) pada huruf a, b, c, atau d!1.Gambar di bawah ini menunjukkan pola suatu barisan yang disusun daribatang korek api.Banyak korek api pada pola berikutnya adalah . . . buah.a.12c.15b.13d.192.Pola di bawah dibuat dari potongan lidi. Banyak potongan lidi pada polake-6 adalah . . . buah.a.25c.19b.16d.228.Suku tengah deret aritmatika9.Jumlah n suku pertama deret aritmatika:10. Jumlah n suku pertama deret geometri:Uji Kompetensin2(a +Un)Ut=12n(a +Un)Sn=12=n(a +(n-1)b)Sna (rn-1)r-1=; untuk r >1Sna (1-rn)1-r=; untuk r >1
180Matematika IX SMP/MTs3.Jumlah bilangan ganjil dari 2 sampai dengan 30 adalah . . . .a.183c.373b.240d.3804.Pada pola segitiga pascal di bawah ini, jumlah bilangan-bilangan pada bariske-9 adalah . . . .111121133114641a.256c.1.024b.512d.1.1185.Diketahui barisan bilangan 3, 4, 7, 12, 19, ....Pola dari urutan bilangan di atas dinyatakan dengan kata-kata adalah . . . .a.tambahkan bilangan n + 1b.tambahkan bilangan primac.tambahkan bilangan n – 2d.tambahkan bilangan ganjil6.Dua suku berikutnya dari barisan 8, 16, 27, 41, ... adalah. . . .a.48 dan 70c.40 dan 48b.58 dan 78d.40 dan 567.Suku berikutnya dari barisan 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... adalah . . . .a.21c.23b.22d.248.Rumus suku ke-n dari barisan 6, 10, 14, 18, ... adalah . . . .a.4n + 2c.4n + 1b.2n + 3d.6n – 29.Rumus suku ke-n dari barisan 1, 6, 15, 28, ... adalah . . . .a.n(2n – 1)c.n(n + 2)b.2n2 – 2d.4n – 3
Bab V Barisan dan Deret Bilangan18110. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 8, 16, 32, ... adalah . . . .a.2n+1c.2n–1b.2n–1d.2n–111. Diketahui barisan aritmatika dengan U1 = 2 dan bedanya = 3. Barisanbilangan itu adalah . . . .a.1, 4, 9, 20, ...c.6, 12, 18, 24, ...b.1, 3, 8, 12, ...d.5, 18, 27, 37, ...12. Suku ke-60 dari barisan 12, 18, 24, 30, ... adalah . . . .a.450c.489b.456d.49613. Empat suku pertama barisan dengan rumus suku ke-n, Un = 3 × 2n adalah. . . .a.6, 12, 24, 48c.2, 6, 12, 24b.6, 12, 27, 48d.3, 6, 12, 2714. Banyak suku-suku barisan bilangan 1, 5, 9, 10, ..., 60 adalah . . . .a.15c.17b.16d.1815. Jumlah 6 suku pertama dari barisan 17, 13, 9, 5, ..., adalah . . . .a.145c.24b.45d.–48B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!1.Tentukan dua suku berikutnya dari barisan 100, 90, 81, 73, 66.2.Perhatikan barisan Fibonacci berikut. 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...Berapakah suku ke-20 barisan itu?3.Tentukan rumus suku ke-n barisan4.Tentukan tujuh suku pertama suatu barisan dengan suku ke-n, Un = n3 – 1.5.Berapakah jumlah 8 suku pertama dari barisan: 3, -12, 48, ... ?1,121418,,.....,
182Matematika IX SMP/MTsLatihan Semester IIA. Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan cara memberi tandasilang (X) pada huruf a, b, c, atau d!1.Diketahui barisan bilangan 2, 3, 5, 11, 18, ...Pola dari urutan bilangan di atas bila dinyatakan dengan kata-kata adalah. . . .a.tambahkan bilangan n + 1b.tambahkan bilangan primac.tambahkan bilangan n – 2d.tambahkan bilangan ganjil2Pada pola segitiga pascal jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-9 adalah. . . .a.1024c.256b.512d.1283.Tabel berikut menunjukkan hubungan antara X dan Y.Y1234....X191731....Untuk X = 7, maka nilai Y adalah . . . .a.42c.57b.49d.634.Dua suku berikut dari barisan 1, 9, 25, 46, ... adalah . . . .a.73 dan 106c.72 dan 106b.75 dan 108d.76 dan 1085.Suku ke-6 dan ke-7 dari barisan bilangan 1, 2, 4, 7, 13, ... adalah . . . .a.20 dan 31c.24 dan 31b.20 dan 32d.24 dan 326.Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 1, 7, 3, 11, 5, 15, ... adalah. . . .a.9 dan 23c.7 dan 21b.9 dan 21d.7 dan 19
Latihan Semester II1837.Suku ke-10 dari barisan bilangan 1, 3, 6, 10, ... adalah . . . .a.32c.48b.36d.558. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 12, 57, 132, 237, ... adalah . . . .a.4n2 + 8c.15n2 – 3b.14n2 – 2d.10n2 + 29.Suku ke-n dari barisan 4, 7, 12, .. adalah . . . .a.2n + 2c.3n + 1b.n2 + 3d.n3 + 310. Rumus suku ke-n dari barisan 1234,,,, ...,3456 adalah . . . .a.c.b.d.11. Diketahui Un adalah "usia anak ke-n" dengan (U1 – U2), (U2 – U3),(U3 – U4), (U4 – U5), adalah 2 tahun, 2,5 tahun, 3,5 tahun, 5 tahun. Jikausia ibu dari anak-anak ini pada waktu melahirkan anak ke-1 adalah 22tahun, maka pada saat anak ke-6 berusia 11 tahun usia ibu tersebut adalah. . . .a.51 tahunc.46 tahunb.47,5 tahund.45,5 tahun12. Barisan bilangan yang suku ke-n dirumuskan Un = 5n – 2 adalah . . . .a.3, 5, 8, 11, ...c.3, 7, 13, 18, ...b.3, 6, 10, 15, ...d.3, 5, 7, 9, ...13. Hasil perhitungan dari . . . .a.c.b.d.14. Jika x = 36 dan y = 64, maka adalah . . . .a.1.032c.1.287b.1.278d.1.728nn(n+2)Un =1n+2)Un =n+1n+2Un =nn+2Un =23 + 48- 27232233322231x y
184Matematika IX SMP/MTs15. Jika , maka x = . . . .a.14c.12b.13d.11B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!1.Jika x = 9, y = 64, dan z = 36, tentukan:a.c.b.d.2.Lima bakteri membelah diri menjadi dua setiap detik. Berapakah banyakbakteri setelah 12 detik?3.Tulislah tiga suku berikutnya dari masing-masing barisan berikut ini.a.25, 19, 13, 7, 1, -5, ...c.4, 8, 16, 32, 64, ...b.3a - 2b, 4a -b, 5a, 6a + b, ...d.12, -4, , , ...4.Diketahui deret aritmatika 8, , , 3, ... Tentukanlah:a.a, b, dan Snb.U12c.S125.Jumlah ketiga bilangan barisan aritmatika adalah 24. Jika bilangan pertamadikurangi 1 dan bilangan kedua dikurangi 2, ketiga bilangan tersebutmembentuk barisan geometri. Carilah barisan geometri tersebut.3494319314
Glosarium185GLOSARIUMAkar. Suatu operasi aljabar yang biasanya dinyatakan dengan simbol .Bangun ruang. Bangun berdimensi tiga, karena mengandung tiga unsur, yaitu panjang,lebar, dan tinggi.Bangun-bangun sebangun. Disebut juga bangun-bangun serupa, sama bentuknya.Bangun yang sama bentuknya tidak tergantung pada besar atau kecilnya bangun.Barisan bilangan. Mengurutkan bilangan-bilangan menurut suatu aturan tertentu.Deret aritmatika. Deret hitung (penjumlahan suku-suku pada barisan aritmatika).Deret geometri tak hingga. Deret geometri yang banyak sukunya tak hingga.Deret geometri. Deret ukur (penjumlahan suku-suku pada barisan geometri).Deret. Penjumlahan suku-suku suatu barisan.Diagram batang. Diagram (gambar) yang disajikan dalam bentuk batang.Diagram garis. Diagram (gambar) yang disajikan dalam bentuk garis.Diagram lambang (piktogram). Diagram yang menyatakan suatu peristiwa denganbantuan kenyataan yang disederhanakan atau diperkecil.Diagram lingkaran. Diagram yang menggunakan daerah lingkaran untukmenggambarkan suatu keadaan.Diagram. Gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu.Diameter. Garis tengah lingkaran.Frekuensi kumulatif. Frekuensi yang dijumlahkan.Frekuensi. Kekerapan (seringnya muncul suatu data).Interval. Nilai selisih antara batas bawah dan batas atas yang menentukan suatu kelas.Isi/volume. Ukuran bangun ruang.Jari-jari. Garis lurus dari titik pusat ke keliling lingkaran.Kerucut. Benda (ruang) yang beralas bundar dan meruncing sampai ke satu titik.Kongruen. Sama dan sebangun.Lingkaran. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan satu titik tertentu.Mean. Rata-rata.Median. Ukuran (nilai) tengah dalam suatu kelompok ukuran setelah data diurutkan.Modus. Nilai yang sering muncul.Pangkat. Perkalian berulang dengan faktor-faktor yang sama.Range. Sebaran, selisih antara angka data tertinggi dengan angka data yang terendah.Rasio. Perbandingan.Statistik. Kumpulan data, baik bilangan maupun nonbilangan yang disusun dalamtabel atau diagram yang menggambarkan atau melukiskan suatu masalah.Statistika. Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data,pengolahan, penganalisisannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan data danpenganalisaan yang dilakukan.Tabel. Daftar.
186Daftar PustakaDAFTAR PUSTAKAAdinawan, M. Cholik, dkk. 2004. Seribu Pena Matematika SMP UntukKelas IX. Jakarta: Erlangga.Atkinson, S. 1992. Mathematics with Reason. Portsmouth: Heinemann.Anvil, D.L, Poluga, C. 1985. Elementary Aljabar. Addison: Wesley-PublishingCo.Depdiknas. 2006. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Mata PelajaranMatematika Sekolah Menengah Tingkat Pertama dan MadrasahTsanawiyah. Jakarta: Depdiknas.Devine, Donald & Kaufmann, Jerome. 1977. Elementary Mathematics. NewYork: John Wiley & Sons.Purcell, Edwin. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I, alih bahasa:I Nyoman Susila, dkk. Jakarta: Erlangga.
Indeks187INDEKSAakar 116, 123alas 47aljabar 116, 135apotema 45, 46, 47, 50Bbangun datar 45bangun ruang 38barisan 152, 155, 156, 157, 160, 174barisan aritmatika 159, 161, 164barisan geometri 166, 167beda 163belah ketupat 3bilangan berpangkat 117bilangan irrasional 123bilangan pangkat 117bilangan pokok 117bilangan rasional 123Binomial Newton 153bola 38, 52, 55, 56, 57, 59, 6061Ddata 71, 72, 74, 75, 77, 79, 80, 83, 84, 89data cacahan 72data kontinu 72data kuantitatif 71data terbesar 75data terendah 75data tunggal 70, 81, 85deret 174deret aritmatika 160, 161, 162, 163, 166,168, 172deret geometri 166, 168, 169, 170, 171, 172deret hitung 161diagram 83, 86, 89diagram batang 70diagram garis 87diagram lingkaran 88diagram pohon 93, 94diameter 45, 52, 53Ffaktor 12, 23, 26, 117frekuensi 80, 81, 85, 96Ggrafik 83Hheksagonal 147Iirrasional 122Jjangkauan 76jari-jari 41, 45, 46, 47, 52, 53, 55,56, 57, 59, 60, 61jaring-jaring 40, 44, 45juring 47juring lingkaran 46Kkeliling 46kerucut 38, 45, 46, 47, 51, 59, 60kongruen 2, 3, 4, 9, 13, 15, 16, 18kuadrat 55Llimas 47lingkaran 42, 45, 52, 56, 57luas 38, 46, 47, 50, 53Mmean 77, 78median 70, 77, 79, 80modus 70, 80, 77Nnotasi 116, 117
188Matematika IX SMP/MTsOobservasi 90Ppangkat 56pecahan 128, 135peluang 70, 95persegi 2piktogram 84pola 142, 143, 144pola bilangan 144, 149populasi 90Rrandom 90rasio 166, 171rasional 122rata-rata 70, 80rata-rata hitung 77Ssampel 90, 91, 92, 93, 94, 95sampling 90sebanding 23, 24, 25, 26, 27sebangun 2, 3, 5, 6, 11, 12, 21, 23, 24, 25,26segitiga 2, 13, 15, 16, 18, 21, 24, 25, 26segitiga pascal 149, 152, 153, 154sisi 6, 53skala 12, 23, 26statistik 71, 72, 83, 84statistik esktrim 76statistik maksimum 76statistik minimum 75statistika 70, 72, 75, 91, 92statistika deskriptif 72statistika induktif 72sudut 6suku barisan 157sumbu putar 52Ttabel 70, 83, 85tabung 38, 53, 55, 59turus 85Vvariabel 153volume 38, 42, 46, 47, 51, 52, 53, 56, 57,59, 60
Kunci189Bab IKesebangunan Bangun DatarA. Pilihan Ganda1.b7.d13. b3.d9.c15. a5.c11. bB. Esei1.∠ SPQ = ∠ QRS∠ PSQ = ∠ RQS∠ PQS = ∠ RSQ3.PQ = 24 cm]5.3,5 mBab IIBangun Ruang Sisi LengkungA. Pilihan Ganda1.b7.d13. a3.b9.c15. b5.d11. cB. Esei1.bola3.Rp3.010.063,125.t = 4rBab III Statistika dan PeluangA. Pilihan Ganda1.a7.c13. c3.b9.c15. b5.c11. bB. Esei1.a.6,3b. 7c.73.a.b.Kuncic.5.a.105b. 45Latihan Semester IA. Pilihan Ganda2.c12. c22. a32. b4.a14. d24. a34. b6.c16. b26. d36. c8.b18. c28. d38. d10. c20. c30. c40. bB. Esei1.7,8 m3.a.b.c.5.8,6 cmBab IVBilangan Berpangkat dan BentukAkarA. Pilihan Ganda1.d7.b13. a3.a9.b15. b5.d11. aB. Esei1.8,823.x = 25. 736 5 9 1 6 12 1 4 1 4 12 + 4 2 13
190Matematika IX SMP/MTsBab VBarisan dan Deret BilanganA. Pilihan Ganda1.d7.a13. a3.d9.a15. b5.c11. cB. Esei1.60,553.5.–39.321Latihan Semester IIA. Pilihan Ganda1.b7.d13. a3.b9.d15. b5.a11. bB. Esei3.a.-11, -17, -23b. 7a + 2b, 8a + 3b, 9a + 4bc.128, 256, 512d.5. 4 -4 427 71 213, , 1 + 273 22 3,2 2, 24- 1 + 273 2 1 2n-1